Különleges méretű fűrészáru beszerzését és szállítását is rövid határidővel tudjuk vállalni. A Hobler Fakereskedés több évtizedes működése megbízható minőségű faáru értékesítésén alapul, legfőbb törekvésünk, hogy vevő...
Új ismeretlen bevezetése a gyakorlatban Azt gondolom, hogy a fenti bekezdés elég misztikusnak tűnhet, így számok, betűk nélkül, ezért gyorsan nézzünk rá egy feladatot, hogy lássuk a fentiek egyszerűségét, nyilvánvalóságát. 1. feladat: 4^x + 2^(x+3) = 128 Ebben a feladatban látható, hogy a bal oldalon egy összeg található, ráadásul mindkét tagja hatvány, melyek alapjai különböznek. Ám észre vehetjük azt is, hogy egyrészt a 4 felírható hatványalakban: 4 = 2^2, másrészt pedig a hatványozás azonosságainak felhasználásával a 2^(x+3) hatvány megegyezik a 2^3 ∙ 2^x szorzattal. Ez alapján sejthetjük, hogyha a 2^x helyett egy új ismeretlen lenne, akkor azt az új egyenletet gyorsan meg tudnánk oldani. Tehát az elsődleges feladatunk most az lesz, hogy az összes x -et tartalmazó kifejezést átalakítsuk oly módon, hogy abban a 2^x szerepeljen. Ehhez az alábbi átalakításokat tudjuk elvégezni (tagonként): 4^x = (2^2)^x = 2^(2x) = 2^(x∙2) = (2^x)^2 2^(x+3) = 2^x ∙ 2^3 = 8 ∙ 2^x Írjuk be a kapott kifejezéseket az eredeti exponenciális egyenlet megfelelő tagjainak helyére: (2^x)^2 + 8∙(2^x) = 128 Ebből már egyértelműen látható, hogyha bevezethetjük az új változót ( y), mégpedig az előbb említett 2^x helyett, akkor az alábbi másodfokú egyenlethez jutunk: (nullára redukálás után) y^2 + 8∙y – 128 = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletében szereplő értékek (ebben az esetben) a következők: a = 1, b = 8, c = (-128).
A tanegység többféle céllal is felhasználható: Önálló: A diákok maguk oldják meg az egyenletet a számítógép interaktív lehetőségét kihasználva. A felkínált több opció közül kiválasztják a helyes megoldást. Önálló: A diákok minden választási lehetőségnél végiggondolják, hogy melyik a helyes, a rosszakról pedig megállapítják, hogy miért hibásak. A megfelelő jelölőnégyzetbe kattintva minden esetben olvasható az eredmény, jó és rossz választás esetén egyaránt, rossz választásnál a gondolatmenet hibája is megjelenik. Frontális: A tanár lépésenként mutathatja be az egyenlet megoldását, minden választásnál végigbeszéli a diákokkal, hogy az adott választás miért helyes, vagy éppen mi a hiba benne.
Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben? A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736: De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el… Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el: Vagyis 60 perc telt el. A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év. Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében. Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes. Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?
Az egyenlet megoldásai pedig: y1 = 8 y2 = (-16) Látható, hogy a kapott eredmény "csak" részeredmény, hiszen az eredeti feladatban nem az y, hanem az x volt az ismeretlen, ezért a kapott eredményeket be kell helyettesítenünk az új változó bevezetésénél megadott egyenletbe. Ebben a feladatban az y = 2^x helyettesítést végeztük, továbbá tudjuk, hogy az y milyen értékkel lehet egyenlő, így az alábbi egyenleteket kapjuk: y = 2^x 1. ) y = 8, behelyettesítve: 8 = 2^x 2. ) y = (-16), behelyettesítve: -16 = 2^x A kapott egyenletek megoldásával az " x = 3 ", illetve a " Nincs megoldás " eredményekhez jutunk, amiből az eredeti exponenciális feladat megoldása: x = 3 lesz. Ennek helyességét ellenőrzéssel igazolhatjuk. A módszer alkalmazása során végrehajtandó lépések A fenti feladat alapján látható, hogy az exponenciális egyenlet megoldása egy új változó bevezetésével az alábbi lépésekből áll: 1. ) a hatványozás azonosságainak segítségével átalakítjuk az egyenletet, 2. ) az új változó bevezetésével egy másodfokú egyenlethez jutottunk, 3. )
Ez a videó előfizetőink számára tekinthető meg. de regisztráció/belépés után még számos ingyenes anyagot találsz. Regisztrálj acebook fiókoddal VAGY e-mail címeddel és egy jelszóval: Belépés Szia! Üdvözöllek ismét a Matek Oázisban! :) Mivel 16 évesnél fiatalabb vagy, anyukádat v. apukádat tájékoztatnunk kell a regisztrációdról az Adatvédelmi törvény szerint. Szerintem nem bánják, ha regisztrálsz! ;) Hozzájárulok, hogy e-mailt küldjetek új ingyenes tananyagokról, játékokról, akciókról, stb. VAGY Lépj be a regisztrációddal: Exponenciális egyenletek Utoljára frissítve: 18:01:18 Ha jól tudod a hatványozás azonosságait, akkor az exponenciális egyenletek megoldása is menni fog. Nézzük meg ennek lépéseit, a típusfeladatokat, és gyakoroljuk ezek megoldását! Sok gyakorló példa vár. Exponenciális egyenletek, exp. -log. függvények Hibát találtál? Hibajelzésedet megkaptuk! Köszönjük, kollégáink hamarosan javítják a hibát....
Vannak olyan esetek, amikor nem tudjuk átalakítani az exponenciális egyenletet úgy, hogy az egyenlet mindkét oldalán egy-egy azonos alapú hatvány álljon. Ilyenkor előfordulhat, hogy új ismeretlen bevezetésével azonban mégis meg tudjuk oldani az egyenletet, egy már korábban megismert módszer segítségével. A bejegyzés teljes tartalma elérhető a következő linken: ============================== További linkek: – Matematika Segítő - Főoldal – Matematika Segítő - Algebra Programcsomag – Matematika Segítő - Online képzések – Matematika Segítő - Blog ==============================
Az exponenciális egyenletek megoldása: Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani. Már jön is az első: Mindig ez lebegjen a szemünk előtt: Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet… Lássuk csak, bingo! Na, ezzel megvolnánk. Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt. Itt van aztán egy újabb ügy: A két hatványalap nem ugyanaz… de van remény. És nézzük, mit tehetnénk ezzel: Most pedig lássunk valami izgalmasabbat. Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva? Készítsünk erről egy rajzot. Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg: Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el. A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el: Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.